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山东省滕州市第一中学高中数学必修4课件:1.2.1任意角的三角函数(1)

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任意角的三角函数(1)

观察课本图 1.2-1,在锐角的终边上任取一点 p(a,b) ,
根据锐角三角函数定义写出锐角三角函数的正弦、余弦、正切.

y

P(a,b)





?

x

o

M

将? 的终边与单位圆的交点作为这个特殊点

sin? ? MP ? b ,
OP cos? ? OM ? a
OP
tan? ? MP ? b ,
OM a

y P(a, b)

?

x

o M A(1,0)

如图,设? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x, y) ,那么:

(1) y 叫做? 的正弦(sine),
记做 sin? ,即 sin? ? y ;
(2) x 叫做? 的余弦(cossine), 记做 cos? ,即 cos? ? x ; (3) y 叫做? 的正切(tangent),
x
记做 tan? ,即 tan? ? y (x ? 0) .
x

?

y

P(x, y)

o

x A(1, 0)

如图,设? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x, y),那么:
说明:(1)当? ? ? ? k? (k ?Z) 时,? 的终边在 y 轴上,终边上任意一点的横坐标 x 都等于0 , 2
所以 tan? ? y 无意义,除此情况外,对于确定的值? ,上述三各值都是唯一确定的实数. x
(2)当? 是锐角时,此定义与初中定义相同;当? 不是锐角时,也能够找出三角函数,因为,
既然有角,就必然有终边,终边就必然与单位圆有交点 P(x, y),从而就必然能够最终算出三角函数值.
(3)正弦,余弦,正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数, 我们将这种函数统称为三角函数.

例 1 求 5 ? 的正弦、余弦和正切值
3

例 1 求 5 ? 的正弦、余弦和正切值 3
分析:关键是作角 5 ? ,进而写出与单位圆交点坐标,利用定义求解. 3

例 1 求 5 ? 的正弦、余弦和正切值
3
y
x A(1, 0)
B 5? 3

例 1 求 5 ? 的正弦、余弦和正切值 3
解:在直角坐标系中,作 ?AOB ? 5? ,易知 ?AOB 3
的终边与单位圆的交点坐标为 (1 , ? 3 ) .所以, 22
sin 5 ? ? ? 3 , cos 5? ? 1 , tan 5? ? ? 3. 3 2 32 3

y
x o A(1,0)
B 5? 3

例 1 求 5 ? 的正弦、余弦和正切值 3
变式:若把角 5 ? 改为 7 ? 呢? 36

y
x A(1, 0) B
5? 3

例 1 求 5 ? 的正弦、余弦和正切值

y

3

变式:若把角 5 ? 改为 7 ? 呢? 36
答案: sin 7? ? ? 1 , cos 7? ? ? 3 , tan 7? ? 3 6 2 6 2 63

x A(1, 0)
B 5? 3

例2 已知角? 的终边经过点 P0(?3,?4) ,求角? 的正弦、余弦和正切值.

例2 已知角? 的终边经过点 P0 (?3, ?4) ,求角? 的正弦、余弦和正切值.
分析:利用相似三角形将任意点转化到单位圆上点,然后利用定义求值. y
M0 M P(x, y) P(x, y)o
P(x, y) P0(?3, ?P4()x, y) P(x, y)

x A(1, 0)

例2 已知角 ? 的终边经过点 P0 (?3, ?4) ,求角? 的正弦、余弦和正切值.

解:由已知可得 OP0 ? (?3)2 ? (?4)2 ? 5 设角? 的终边与单位圆交于 P(x, y)
分别过点 P 、 p0 作 x 轴的垂线 MP 、 MP0 ,则

y

M0

M

P(x, y) P(x, y)o

M0P0 ? 4 , MP ? ? y

P(x, y)

OM0 ? 3 , OM ? ?x
?OMP ∽ ?OM 0 P0 ,

P0 (?3, ?P4()x, y) P(x, y)

于是 sin? ? y ? y ? ? | MP | ? ? M0P0 ? ? 4 ;

1 OP

OP0

5

cos? ? x ? x ? ? OM ? ? OM0 ? ? 3

1 OP

OP0

5

tan? ? y ? sin? ? 4 x cos? 3

x A(1, 0)

探究:请根据上述任意角的三角函数定义,先将正弦,余弦和正切函数在弧度制下的定义域填入下表, 再将这三种函数的值再各象限的符号填入下表

三角 函数
sin?

定义域

()
o
()

y
+ x
()

()
o
()

y
()
)x
)( )

()
o
()

y
(.)
x
()

cos?

sin ?

cos ?

tan?

tan?

例 3 求证:当下列不等式组成立时,角? 为第三象限角,反之也对

?sin? ? 0



??tan? ? 0



分析:从两方面证明,应用“一全正,二正弦,三正切,四余弦”符号记忆规律.

例 3 求证:当下列不等式组成立时,角? 为第三象限角,反之也对

?sin? ? 0



??tan? ? 0



证明:我们证明如果①②式都成立,那么角? 为第三象限角. 因为① sin? ? 0 成立,那么角? 的终边可能位于第三或第四象限,
也可能与 y 轴的非负半轴重合;
又因为② tan? ? 0 ,所以角? 的终边可能位于第一或第三象限 因为①②式都成立,所以角? 的终边只能位于第三象限, 于是角? 为第三象限角
反过来,请同学们自己证明

例 4.确定下列三角函数值的符号:

(1) cos 250?

(2) sin(? ? )
4

(3) tan(?672?)

(4) tan 3?

例 4.确定下列三角函数值的符号:

(1) cos 250?

(2) sin(? ? ) 4

(3) tan(?672?)

解:(1)因为 250? 是第三象限角,所以 cos 250? ? 0 ;

(2)因为 ?

? 4

是第四象限角,所以 sin

? ??

?

? 4

? ??

?

0



(4) tan 3?

(3)因为 tan(?672?) ? tan(48? ? 2?360?) ? tan 48? ,而 48?是第一象限角,所以 tan(?672?) ? 0

(4) tan 3? ? tan(? ? 2? ) ? tan? ? 0

例 5 求下列三角函数值:

(1) sin1480?10' ;(2) cos 9? ;(3) tan(?11? )

4

6

例 5 求下列三角函数值:

(1) sin1480?10' ;(2) cos 9? ;(3) tan(?11? )

4

6

解:(1) sin1480?10' ? sin(40?10' ? 4 ?360?) ? sin 40?10' ? 0.645

(2) cos 9? ? cos(? ? 2? ) ? cos ? ? 2

4

4

42

(3) tan(? 11? ) ? tan(? ? 2? ) ? tan ? ? tan ? ? 3

6

6

6

63

课堂小结
1.知识:任意角的三角函数的定义;三角函数的定义域及三角函数值的符号;公式一. 2.思想:数形结合的思想、分类讨论的思想、转化思想. 任意角的三角函数是由角的终边与单位圆交点的坐标定义的, 三角函数值的符号是利用三角函数的定义来推导的,诱导公式一的作用可以把大角的 三角函数转化为小角的三角函数.

布置作业

1.阅读教材 P11—14;

2.书面作业

必做题: P20 *题 1.2 A 组 1.(1)、(2),4,8.(1),(2)

选做题:1. 判断下列各式的符号

(1) sin340??cos 265? (2) sin 4 ? tan(? 23? )
4
2. 求下列各式的值

(1) cos 25? ? tan(? 15? ) (2) sin 420?cos 750? ? sin(?690?) cos(?660?)

3

4




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